Fourier Analysisâ"A Signal Processing Approach

Contents1 Signals 111.1 Basic Signals1.1.1 Unit-impulse Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Unit-step Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.3 Unit-ramp Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.4 Sinusoids and Complex Exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 Classification of Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.1 Continuous, Discrete, and Digital Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.2 Periodic and Aperiodic Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.3 Even- and Odd-symmetric Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.4 Energy and Power Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.5 Deterministic and Random Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.6 Causal and Noncausal Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3 Signal Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.1 Time Shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.2 Time Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 The Discrete Fourier Transform 332.1 The Exponential Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 The Complex Exponential Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.1 Euler's Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.2 Real Sinusoid in terms of Complex Exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3 The DFT and the IDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.1 The DFT and the IDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.2 The Criterion of Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.3 The Matrix form of the DFT and IDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4.1 Fourier Boundary Descriptor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 Properties of the DFT 533.1 Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2 Periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3 Circular Time Shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4 Circular Frequency Shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.5 Circular Time-reversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.6 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.7 Transform of Complex Conjuagtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.8 Circular Convolution and Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.8.1 Circular convolution of Time-domain Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . 5673.8.2 Circular Convolution of Frequency-domain Sequences . .