Contents
Preface ix
A Note to the Reader xiii
Authors xv
1 Set Theory 1
1.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 The empty set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Operations on sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Uniqueness of the empty set . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4 Power sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5 Cartesian products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Types of relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Partition of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4 Partial order relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 Composition of functions . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2 Inverse of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3 Images of sets under functions . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.4 Inverse images of sets under functions . . . . . . . . . 36
1.4 Countability of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.1 Finite sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.4.2 Countable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Problem Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Biographical Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2 Metric Spaces 55
2.1 Review of Real Number System and Absolute Value . . . . . 55
2.2 Young, H¨older, andMinkowski Inequalities . . . . . . . . . . 57
2.3 Notion ofMetric Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4 Open Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.4.1 Subspace topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.4.2 Product topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.5 Closed Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.6 Interior, Exterior, and Boundary Points . . . . . . . . . . . . 101
2.7 Limit and Cluster Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.8 Bounded Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.9 Distance Between Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.10 EquivalentMetrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Problem Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Biographical Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3 Complete Metric Spaces 129
3.1 Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.1.1 Subsequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.2 Convergence of Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.3 CompleteMetric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.4 Completion ofMetric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.4.1 Construction of the set Z . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.4.2 Embedding X in Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.4.3 Proving Z is complete . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.4.4 Uniqueness of extension up to isometry . . . . . . . . 148
3.5 Baire Category Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.5.1 Category of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.5.2 Baire category theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.5.3 Applications of Baire category theorem . . . . . . . . 153
Problem Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Biographical Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4 Compact Metric Spaces 161
4.1 Open Cover and Compact Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.2 General Properties of Compact Sets . . . . . . . . . . . . . . 165
4.3 Sufficient Conditions for Compactness . . . . . . . . . . . . . 169
4.4 Sequential Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.5 Compactness: Characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Problem Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Biographical Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5 Connected Spaces 183
5.1 Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.1.1 Connected subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.2 Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.3 Totally Disconnected Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Problem Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6 Continuity 195
6.1 Continuity of Real Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . 195
6.2 Continuous Functions in ArbitraryMetric Spaces . . . . . . 197
6.2.1 Equivalent definitions of continuity and other
characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.2.2 Results on continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.3 Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.4 Continuous Functions on Compact Spaces . . . . . . . . . . . 224
6.5 Continuous Functions on Connected Spaces . . . . . . . . . . 229
6.5.1 Path connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.6 Equicontinuity and Arzela-Ascoli's Theorem . . . . . . . . . 242
6.7 Open and ClosedMaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.8 Homeomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Problem Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Biographical Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7 Banach Fixed Point Theorem and Its Applications 255
7.1 Banach Contraction Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
7.2 Applications of Banach Contraction Principle . . . . . . . . . 260
7.2.1 Root finding problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7.2.2 Solution of systemof linear algebraic equations . . . . 261
7.2.3 Picard existence theorem for differential equations . . 264
7.2.4 Solutions of integral equations . . . . . . . . . . . . . 267
7.2.5 Solutions of initial value and boundary value
problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.2.6 Implicit function theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Problem Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
Biographical Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Appendix A 277
Bibliography 281
Index 283
